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反函数

一、核心概念与性质 (Core Concepts and Properties)

1. 反函数的定义 (Definition)

如果函数 \(y = f(x)\) 在其定义域 \(D_f\) 上是 严格单调 的，那么它一定存在反函数，记为 \(x = f^{-1}(y)\)。习惯上，我们仍用 \(x\) 表示自变量，所以反函数写为 \(y = f^{-1}(x)\)。

  • 本质： 变量角色的互换。原函数的自变量 \(x\) 变成了反函数的因变量，原函数的因变量 \(y\) 变成了反函数的自变量。
  • 定义域与值域： 原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。即 \(D_{f^{-1}} = R_f\)，\(R_{f^{-1}} = D_f\)。
  • 恒等关系： \(f(f^{-1}(x)) = x\) 和 \(f^{-1}(f(x)) = x\)。

2. 存在条件 (Existence Condition)

函数存在反函数的 充分条件 是在其定义域内 严格单调。在考研题目中，如果题目明确给出了反函数 \(f^{-1}(x)\)，那么默认 \(f(x)\) 在其定义域上是严格单调的。

3. 重要性质

这些性质是解题的基础，必须熟记。

  • 单调性 (Monotonicity)：

    • 一个严格单调的函数，其反函数也必然是严格单调的，且 单调性相同。
    • 如果 \(f(x)\) 是严格增函数，那么 \(f^{-1}(x)\) 也是严格增函数。
    • 如果 \(f(x)\) 是严格减函数，那么 \(f^{-1}(x)\) 也是严格减函数。

  • 对称性 (Symmetry)：

    • 函数 \(y = f(x)\) 与其反函数 \(y = f^{-1}(x)\) 的图像关于直线 \(y = x\) 对称。
    • 这个性质在几何应用和定积分计算中非常有用。如果点 \((a, b)\) 在 \(y=f(x)\) 的图像上，即 \(b = f(a)\)，那么点 \((b, a)\) 就在 \(y=f^{-1}(x)\) 的图像上，即 \(a = f^{-1}(b)\)。

  • 连续性 (Continuity)：

    • 如果定义在闭区间 \([a, b]\) 上的连续函数 \(y = f(x)\) 是严格单调的，那么其反函数 \(x = f^{-1}(y)\) 在对应的区间 \([f(a), f(b)]\) (或 \([f(b), f(a)]\)) 上也是连续且严格单调的。

  • 可导性 (Differentiability)：

    • 这是考研的重中之重！
    • 定理： 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，且 \(f'(x_0) \neq 0\)。如果它存在反函数 \(x = f^{-1}(y)\)，则反函数在对应点 \(y_0 = f(x_0)\) 处也一定可导，且其导数为： \(\((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)\)
    • 用莱布尼茨记号： \(\(\frac{dx}{dy} \bigg|_{y=y_0} = \frac{1}{\frac{dy}{dx} \bigg|_{x=x_0}}\)\)
    • 关键点： 注意求导的变量和点！反函数的导数是在 \(y_0\) 点求的，而原函数的导数是在 \(x_0\) 点求的，其中 \(y_0 = f(x_0)\)。

二、核心题型与解题技巧 (Key Problem Types and Techniques)

考研中关于反函数的题目，万变不离其宗，核心技巧是 “求导不求反，代值是关键”。

黄金法则： 除非反函数表达式极其简单（如 \(y=2x+1\)），否则 绝对不要去尝试求解反函数的具体表达式！ 所有的计算都应该通过原函数来完成。

题型一：求反函数在某一点的导数

这是最经典、最常见的题型。

解题步骤： 1. 明确求值点： 题目要求计算 \((f^{-1})'(y_0)\)。 2. 反解对应点： 根据关系 \(y_0 = f(x_0)\)，解出对应的 \(x_0\) 值。这一步通常通过观察或简单计算就能得出。 3. 求原函数导数： 计算原函数的导函数 \(f'(x)\)。 4. 代入对应点： 计算 \(f'(x_0)\) 的值。 5. 取倒数： 应用公式 \((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\) 得出最终结果。

【例题1】 设函数 \(y = f(x) = x^5 + 2x - 3\)，求 \((f^{-1})'(0)\)。

解： 1. 求值点： 我们要求 \((f^{-1})'(0)\)，所以 \(y_0 = 0\)。 2. 反解对应点： 令 \(f(x_0) = y_0\)，即 \(x_0^5 + 2x_0 - 3 = 0\)。 通过观察可以发现，当 \(x_0 = 1\) 时， \(1^5 + 2(1) - 3 = 0\) 成立。所以 \(x_0=1\)。 （注：这里的方程通常设计得很容易看出一个整数解，不需要用复杂方法去解高次方程。） 3. 求原函数导数： \(f'(x) = 5x^4 + 2\)。 4. 代入对应点： 计算 \(f'(x_0) = f'(1) = 5(1)^4 + 2 = 7\)。 5. 取倒数： \((f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{7}\)。

题型二：求反函数的高阶导数

这是难度更高一点的题型，重点考察复合函数求导法则和对公式的灵活运用。

核心公式： 首先求出一阶导数： \(\(\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y'} = \frac{1}{f'(x)}\)\) 对上式 关于 \(y\) 求导，得到二阶导数： \(\(\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy}\left( \frac{1}{f'(x)} \right)\)\) 注意右边是 \(x\) 的函数，而我们是对 \(y\) 求导，因此需要使用链式法则： \(\(\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{f'(x)} \right) \cdot \frac{dx}{dy}\)\) \(\(= \left( -\frac{f''(x)}{(f'(x))^2} \right) \cdot \left( \frac{1}{f'(x)} \right) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3}\)\)

记忆公式： \(\((f^{-1})''(y) = -\frac{f''(x)}{[f'(x)]^3} \quad \text{其中 } y = f(x)\)\)

【例题2】 设函数 \(y = f(x) = x + \sin x\)，求 \(x=f^{-1}(y)\) 在 \(y=\frac{\pi}{2}+1\) 处的二阶导数。

解： 1. 明确求值点： \(y_0 = \frac{\pi}{2}+1\)。 2. 反解对应点： 令 \(f(x_0) = y_0\)，即 \(x_0 + \sin x_0 = \frac{\pi}{2}+1\)。 通过观察，易得 \(x_0 = \frac{\pi}{2}\)。 3. 求原函数一阶和二阶导数： \(f'(x) = 1 + \cos x\) \(f''(x) = -\sin x\) 4. 代入对应点 \(x_0 = \frac{\pi}{2}\)： \(f'(\frac{\pi}{2}) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 = 1\) \(f''(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1\) 5. 套用二阶导数公式： \(\((f^{-1})''(y_0) = -\frac{f''(x_0)}{[f'(x_0)]^3} = -\frac{-1}{[1]^3} = 1\)\) 所以，在 \(y=\frac{\pi}{2}+1\) 处的二阶导数为 1。

题型三：与定积分结合

利用 \(y=f(x)\) 和 \(y=f^{-1}(x)\) 图像关于 \(y=x\) 对称的性质，可以解决一些看似复杂的定积分问题。

核心公式（几何意义）： \(\(\int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y) dy = b f(b) - a f(a)\)\) 理解： 这个公式的几何意义是两个由函数、反函数和坐标轴围成的区域面积之和，等于一个大矩形面积减去一个小矩形面积。画个图就一目了然。

【例题3】 计算定积分 \(\int_0^1 \arcsin x \, dx\)。

解法1：分部积分法（常规） \(\int_0^1 \arcsin x \, dx = [x \arcsin x]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx\) \(= (1 \cdot \frac{\pi}{2} - 0) + \frac{1}{2} \int_0^1 (1-x^2)^{-1/2} d(1-x^2)\) \(= \frac{\pi}{2} + [\sqrt{1-x^2}]_0^1 = \frac{\pi}{2} + (0-1) = \frac{\pi}{2} - 1\)

解法2：利用反函数性质 令 \(f(x) = \sin x\)，则 \(f^{-1}(x) = \arcsin x\)。 我们要求 \(I = \int_0^1 \arcsin x \, dx\)。 设 \(a=0, b=?\)。我们有 \(\int_{f(a)}^{f(b)} \arcsin y \, dy\) 的形式。 令 \(g(y) = \arcsin y\)，它的反函数是 \(y = \sin x\)。 使用公式：\(\int_c^d g(y) dy + \int_{g(c)}^{g(d)} g^{-1}(x) dx = d \cdot g(d) - c \cdot g(c)\) 在这里，\(g(y) = \arcsin y\), \(c=0, d=1\)。则 \(g(c)=g(0)=0\), \(g(d)=g(1)=\frac{\pi}{2}\)。\(g^{-1}(x)=\sin x\)。 所以，\(\int_0^1 \arcsin y \, dy + \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = 1 \cdot \arcsin(1) - 0 \cdot \arcsin(0) = \frac{\pi}{2}\) 我们要求的积分是 \(\int_0^1 \arcsin x \, dx\)。 而 \(\int_0^{\pi/2} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = (-\cos\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = 0 - (-1) = 1\)。 所以，\(\int_0^1 \arcsin x \, dx + 1 = \frac{\pi}{2}\) 最终得到 \(\int_0^1 \arcsin x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1\)。

三、考研重点总结 (Key Takeaways for Kaoyan)

  1. 核心思想： 反函数问题的本质是 变量互换。解题时牢牢抓住 \(y_0 = f(x_0)\) 这一核心关系。
  2. 第一大法则： 坚决不求反函数表达式，一切计算通过原函数 \(f(x)\) 进行。
  3. 导数公式是重中之重：
    • 一阶导数： \((f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\)
    • 二阶导数： \((f^{-1})''(y_0) = -\frac{f''(x_0)}{[f'(x_0)]^3}\)
    • 务必记牢记熟，尤其是二阶导数公式，可以节省大量临场推导时间。
  4. 解题流程标准化： 对于求导问题，严格按照 “定y₀ → 解x₀ → 求f'(x) → 算f'(x₀) → 取倒数” 的流程操作，思路清晰，不易出错。
  5. 注意细节： 看清楚是求一阶导数还是二阶导数，求导的点是 \(y\) 的值，计算时需要转化为 \(x\) 的值。\(f'(x) \neq 0\) 是可导的前提，在填空选择题中可能成为考点。
  6. 几何性质： 了解图像关于 \(y=x\) 对称，以及由此引申出的定积分面积公式，可以作为解决某些积分问题的巧法。

掌握了以上性质和技巧，考研数学中的反函数问题基本就可以迎刃而解了。祝你备考顺利！