反常积分收敛性判断方法¶

1. 反常积分的类型¶

反常积分分为两类： - 第一类（无穷区间）
积分区间无限，例如： - $\(\int_a^\infty f(x) \, dx$\) - $\(\int_{-\infty}^b f(x) \, dx$\) - $\(\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$\)

第二类（无界函数/瑕积分）
被积函数在积分区间内有无穷间断点（瑕点），例如：
\[\int_a^b f(x) \, dx$$，其中 $$\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty\]
\[\int_a^b f(x) \, dx$$，其中 $$\lim_{x \to b^-} f(x) = \infty\]

2. 收敛性判断方法¶

（1）直接计算法¶

若能求出原函数，通过极限直接判断：

无穷区间
$\(\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$\)
若极限存在且有限，则收敛。

瑕积分
$\(\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) \, dx$\)（瑕点在a处）
若极限存在且有限，则收敛。

示例
$\(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = 1$\)（收敛）

（2）比较判别法¶

当直接计算困难时，通过比较函数行为判断：

比较原理
若 $\(0 \leq f(x) \leq g(x)$\)，则： - $\(\int g(x) \, dx$\) 收敛 ⇒ $\(\int f(x) \, dx$\) 收敛 - $\(\int f(x) \, dx$\) 发散 ⇒ $\(\int g(x) \, dx$\) 发散

极限比较法
若 $\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \quad (0 < L < \infty)$\)，则 $\(\int f(x) \, dx$\) 与 $\(\int g(x) \, dx$\) 同敛散。

常用比较基准： | 类型 | 基准函数 | 收敛条件 | |------------|---------------|----------| | 无穷区间 | $\(\frac{1}{x^p}$\) | $\(p > 1$\) | | 瑕积分 | $\(\frac{1}{(x-a)^p}$\) | $\(p < 1$\) |

（3）p-积分判别法¶

无穷区间
$\(\int_a^\infty \frac{1}{x^p} \, dx$\)（$\(a > 0$\)）： - $\(p > 1$\)：收敛 - $\(p \leq 1$\)：发散

瑕积分
$\(\int_0^a \frac{1}{x^p} \, dx$\)（瑕点在0）： - $\(p < 1$\)：收敛 - $\(p \geq 1$\)：发散

（4）绝对收敛性¶

若 $\(\int |f(x)| \, dx$\) 收敛 ⇒ $\(\int f(x) \, dx$\) 绝对收敛
若 $\(\int f(x) \, dx$\) 收敛但 $\(\int |f(x)| \, dx$\) 发散 ⇒ 条件收敛

典型例子
$\(\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} \, dx$\) 条件收敛

3. 混合型处理¶

当积分同时包含无穷区间和瑕点时，需拆分处理：

示例
$\(\int_0^\infty \frac{1}{x^{1/2}(1+x)} \, dx$\)
$\(= \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \, dx$\)（瑕点x=0）
$\(+ \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \, dx$\)（无穷区间）

需分别判断两部分收敛性。

判断流程¶

识别反常积分类型
检查是否有瑕点/无穷区间
尝试直接计算（若可能）
必要时使用比较判别法
混合型需拆分处理

应用示例
判断 $\(\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \, dx$\) 的收敛性： 1. 瑕点：x=0（$\(\ln x$\)无界）和x=1（分母→0） 2. 拆分：$\(\int_0^{1/2} + \int_{1/2}^1$\) 3. 分别用比较法： - $\(x \to 0^+$\) 时，$\(\frac{\ln x}{1-x} \sim \ln x$\) - $\(x \to 1^-$\) 时，$\(\frac{\ln x}{1-x} \sim \frac{x-1}{1-x} = -1$\) 4. 结论：x=1处收敛，x=0处发散 ⇒ 整体发散