反常积分收敛性判断方法¶

1. 反常积分的类型¶

反常积分分为两类： - 第一类（无穷区间）
积分区间无限，例如： - $$\int_a^\infty f(x) \, dx$$ - $$\int_{-\infty}^b f(x) \, dx$$ - $$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx$$

第二类（无界函数/瑕积分）
被积函数在积分区间内有无穷间断点（瑕点），例如：
\[\int_a^b f(x) \, dx$$，其中 $$\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty\]
\[\int_a^b f(x) \, dx$$，其中 $$\lim_{x \to b^-} f(x) = \infty\]

2. 收敛性判断方法¶

（1）直接计算法¶

若能求出原函数，通过极限直接判断：

无穷区间
$$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$$
若极限存在且有限，则收敛。

瑕积分
$$\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{c \to a^+} \int_c^b f(x) \, dx$$（瑕点在a处）
若极限存在且有限，则收敛。

示例
$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = 1$$（收敛）

（2）比较判别法¶

当直接计算困难时，通过比较函数行为判断：

比较原理
若 $$0 \leq f(x) \leq g(x)$$，则： - $$\int g(x) \, dx$$ 收敛 ⇒ $$\int f(x) \, dx$$ 收敛 - $$\int f(x) \, dx$$ 发散 ⇒ $$\int g(x) \, dx$$ 发散

极限比较法
若 $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \quad (0 < L < \infty)$$，则 $$\int f(x) \, dx$$ 与 $$\int g(x) \, dx$$ 同敛散。

常用比较基准： | 类型 | 基准函数 | 收敛条件 | |------------|---------------|----------| | 无穷区间 | $$\frac{1}{x^p}$$ | $$p > 1$$ | | 瑕积分 | $$\frac{1}{(x-a)^p}$$ | $$p < 1$$ |

（3）p-积分判别法¶

无穷区间
$$\int_a^\infty \frac{1}{x^p} \, dx$$（$$a > 0$$）： - $$p > 1$$：收敛 - $$p \leq 1$$：发散

瑕积分
$$\int_0^a \frac{1}{x^p} \, dx$$（瑕点在0）： - $$p < 1$$：收敛 - $$p \geq 1$$：发散

（4）绝对收敛性¶

若 $$\int |f(x)| \, dx$$ 收敛 ⇒ $$\int f(x) \, dx$$ 绝对收敛
若 $$\int f(x) \, dx$$ 收敛但 $$\int |f(x)| \, dx$$ 发散 ⇒ 条件收敛

典型例子
$$\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} \, dx$$ 条件收敛

3. 混合型处理¶

当积分同时包含无穷区间和瑕点时，需拆分处理：

示例
$$\int_0^\infty \frac{1}{x^{1/2}(1+x)} \, dx$$
$$= \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \, dx$$（瑕点x=0）
$$+ \int_1^\infty \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \, dx$$（无穷区间）

需分别判断两部分收敛性。

判断流程¶

识别反常积分类型
检查是否有瑕点/无穷区间
尝试直接计算（若可能）
必要时使用比较判别法
混合型需拆分处理

应用示例
判断 $$\int_0^1 \frac{\ln x}{1-x} \, dx$$ 的收敛性： 1. 瑕点：x=0（$$\ln x$$无界）和x=1（分母→0） 2. 拆分：$$\int_0^{1/2} + \int_{1/2}^1$$ 3. 分别用比较法： - $$x \to 0^+$$ 时，$$\frac{\ln x}{1-x} \sim \ln x$$ - $$x \to 1^-$$ 时，$$\frac{\ln x}{1-x} \sim \frac{x-1}{1-x} = -1$$ 4. 结论：x=1处收敛，x=0处发散 ⇒ 整体发散