奇偶性¶

这是所有应用的基础，必须烂熟于心。

定义：
- 偶函数 (Even Function)：若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，且恒有 f(−x)=f(x)。
- 奇函数 (Odd Function)：若函数 f(x) 的定义域关于原点对称，且恒有 f(−x)=−f(x)。
图像特征：
- 偶函数图像关于 Y轴对称。
- 奇函数图像关于原点对称。
性质：
- 若奇函数在 x=0 处有定义，则必有 f(0)=0。（此性质常用于选择题和抽象函数证明）。
- 任意一个定义域关于原点对称的函数，都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和：
  
  f(x)=2f(x)−f(−x) (奇部)+2f(x)+f(−x) (偶部)。

这部分内容常用于判断复杂函数的奇偶性。

四则运算：
- 偶 ± 偶 = 偶
- 奇 ± 奇 = 奇
- 偶 × 偶 = 偶
- 奇 × 奇 = 偶
- 奇 × 偶 = 奇
复合函数：设函数 f(x) 和 g(x) 的奇偶性已知，则复合函数 f[g(x)] 的奇偶性判断口诀为“内偶则偶，内奇同外”。
- 如果内层函数 g(x) 是偶函数，则无论外层 f(x) 是什么函数，复合函数 f[g(x)] 必为偶函数。
- 如果内层函数 g(x) 是奇函数，则复合函数的奇偶性与外层函数 f(x) 相同。

这是奇偶性在考研中最核心、最高频的应用。

定积分性质（核心考点）：

设积分区间为对称区间 [−a,a]，则：
- ∫−aaf(x)dx=0 ，当 f(x) 为 奇函数 时。
- ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx ，当 f(x) 为 偶函数 时。
- 应用：在计算定积分时，如果积分区间是对称的，第一反应就是检查被积函数的奇偶性，拆分被积函数，将奇函数部分积分为0，从而极大简化计算。
变上限积分（高频考点）：

设积分下限为0，则：
- 若 f(t) 为奇函数，则 G(x)=∫0xf(t)dt 为偶函数。
- 若 f(t) 为偶函数，则 G(x)=∫0xf(t)dt 为奇函数。
- 应用：如此前的题目所示，常用于判断由变上限积分定义的抽象函数的奇偶性。
导数性质：
- 可导的偶函数，其导函数必为奇函数。
- 可导的奇函数，其导函数必为偶函数。
- 应用：常用于抽象函数微分方程的证明与求解中。

幂级数（泰勒展开）：
- 偶函数的麦克劳林展开式中只含 x 的偶次幂项。例如：
  
  cosx=1−2!x2+4!x4−…
- 奇函数的麦克劳林展开式中只含 x 的奇次幂项。例如：
  
  sinx=x−3!x3+5!x5−…
- 应用：可用于快速判断幂级数求和后函数的奇偶性，或在求复杂函数的展开式时，直接判定某些项的系数为0。
傅里叶级数（数一重点）：
- 在 (−π,π) 上，偶函数的傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数（所有 bn=0）。
- 在 (−π,π) 上，奇函数的傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数（a0=0 且所有 an=0）。
- 应用：极大简化傅里叶系数的计算量。

养成习惯，先判奇偶：在处理函数相关问题，尤其是定积分和级数时，要养成先观察函数定义域、积分区间对称性，再判断函数奇偶性的习惯。这个习惯能帮你节省大量时间，甚至找到解题的唯一突破口。
对称区间是“信号”：看到形如 [−a,a] 的积分区间，就要立刻联想到利用奇偶性简化计算。
抽象问题具体化：当遇到抽象的奇偶函数问题时，可以联想一个具体的函数模型（如用 x3,sinx 代表奇函数，用 x2,cosx 代表偶函数）来辅助思考，建立直觉。
牢记组合性质：尤其要熟练掌握奇偶性与导数、积分结合后的性质，这是考研数学的命题热点，如此前提目所示，经常以综合选择题或大题中某一问的形式出现。

要判断一个由积分定义的函数 G(x)=∫cxH(u)du 的奇偶性，有两条捷径：

捷径一（适用于积分下限为常数 a）：

函数 G(x)=∫axH(u)du 是偶函数的充分必要条件是其被积函数 H(u) 为奇函数。

（简单证明：对 G(x) 求导得 G′(x)=H(x)。G(x) 为偶函数 ⇔ G′(x) 为奇函数 ⇔ H(x) 为奇函数。）
捷径二（适用于积分下限为 0）：

函数 H(u)=∫0ug(t)dt 的奇偶性与被积函数 g(t) 的奇偶性相反。
- g(t) 奇 ⟹H(u) 偶
- g(t) 偶 ⟹H(u) 奇

我们的目标是找到一个偶函数。

首先分析选项 B 和 D，因为它们的外层积分形式是 ∫axH(u)du。根据捷径一，我们只需要检查它们的内层积分 H(u) 哪个是奇函数即可。
- 对于选项 B：其内层积分为 HB(u)=∫0uf(t)dt。
  - 被积函数 f(t) 是奇函数。
  - 根据捷径二，HB(u) 是偶函数。
  - 这不满足条件，所以 B 错误。
- 对于选项 D：其内层积分为 HD(u)=∫0utf(t)dt。
  - 被积函数 t⋅f(t) 是 (奇 × 奇) = 偶函数。
  - 根据捷径二，HD(u) 是奇函数。
  - 这正好满足条件！ 因此，函数 GD(x)=∫axHD(u)du 必为偶函数。答案锁定为 D。
快速排除选项 A 和 C：它们的外层积分形式是 ∫0xH(u)du。要使它为偶函数，其被积函数 H(u) 必须是奇函数。
- 它们的内层积分 H(u) 都是 ∫aug(t)dt=∫0ug(t)dt−C 的形式。
- 对于 A：HA(u) 是 (奇函数 - 常数)，不是奇函数。
- 对于 C：HC(u) 是 (偶函数 - 常数)，不是奇函数。
- 所以 A 和 C 都不可能得到一个偶函数。

通过这种方式，您可以快速定位到核心结构，利用导数和积分与奇偶性的关系，在几十秒内准确地选出答案。