微分方程

考研数学二微分方程核心知识点梳理

微分方程作为考研数学二的重要组成部分，其知识点相对独立且方法性强，是考生在备考过程中应重点掌握并争取拿满分的部分。根据历年考试大纲和真题分析，数学二中有关微分方程的考点主要集中在以下几个方面：

一、 微分方程的基本概念

考生需要准确理解和掌握微分方程的一些基本术纯，这是后续学习和解题的基础。

• 微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程。
• 阶: 微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶。例如，\(y'' + 2y' + y = x\) 是一个二阶微分方程。
• 解: 使得微分方程成立的函数称为微分方程的解。
• 通解: 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称此解为微分方程的通解。
• 特解: 不含任意常数的解称为特解。特解可以通过通解在给定的初始条件下确定。
• 初始条件: 确定特解中任意常数值的条件，通常以 \(y(x_0) = y_0, y'(x_0) = y_1\) 等形式给出。

二、 一阶微分方程的求解

一阶微分方程是考研数学二的重点，考生需要熟练掌握以下几种常见类型的解法。

类型	方程形式	求解方法
可分离变量的方程	\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)	分离变量后两边积分：\(\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx\)
齐次方程	\(\frac{dy}{dx} = \phi(\frac{y}{x})\)	令 \(u = \frac{y}{x}\)，则 \(y = ux, \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}\)，代入原方程化为可分离变量的方程。
一阶线性微分方程	\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)	应用通解公式：\(y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right)\)
伯努利方程	\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \ne 0, 1)\)	令 \(z = y^{1-n}\)，将其转化为关于 \(z\) 的一阶线性微分方程。

三、 可降阶的高阶微分方程

对于一些特定形式的高阶微分方程，可以通过适当的变量代换将其阶数降低，从而转化为一阶微分方程或更低阶的方程进行求解。

1. \(y^{(n)} = f(x)\) 型: 直接通过逐次积分求解。
2. \(y'' = f(x, y')\) 型: 令 \(p = y'\)，则 \(y'' = \frac{dp}{dx}\)，原方程化为一阶微分方程 \(\frac{dp}{dx} = f(x, p)\)。
3. \(y'' = f(y, y')\) 型: 令 \(p = y'\)，则 \(y'' = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}\)，原方程化为一阶微分方程 \(p\frac{dp}{dy} = f(y, p)\)。

四、 二阶常系数线性微分方程

这是考试的另一个重点和难点，特别是对于非齐次项的处理。

1. 二阶常系数齐次线性微分方程

方程形式为 \(y'' + py' + qy = 0\)，其中 \(p, q\) 为常数。

其求解步骤如下：

• 写出特征方程：\(r^2 + pr + q = 0\)。
• 求解特征根 \(r_1, r_2\)。
• 根据特征根的不同情况写出通解：
  • 两个不相等的实根 \(r_1, r_2\)：通解为 \(y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\)。
  • 两个相等的实根 \(r_1 = r_2 = r\)：通解为 \(y = (C_1 + C_2x)e^{rx}\)。
  • 一对共轭复根 \(\alpha \pm i\beta\)：通解为 \(y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\)。

2. 二阶常系数非齐次线性微分方程

方程形式为 \(y'' + py' + qy = f(x)\)。

其通解结构为：非齐次方程的通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解 (\(y = y_h + y_p\))。

齐次方程的通解 \(y_h\) 按上述方法求解。对于特解 \(y_p\) 的求解，主要使用待定系数法，根据非齐次项 \(f(x)\) 的形式来设定特解的形式：

• \(f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}\) 型:

  • 若 \(\lambda\) 不是特征方程的根，设特解为 \(y_p = Q_m(x)e^{\lambda x}\)。
  • 若 \(\lambda\) 是特征方程的单根，设特解为 \(y_p = xQ_m(x)e^{\lambda x}\)。
  • 若 \(\lambda\) 是特征方程的重根，设特解为 \(y_p = x^2Q_m(x)e^{\lambda x}\)。 其中 \(Q_m(x)\) 是与 \(P_m(x)\) 同次的多项式。

• \(f(x) = e^{\lambda x}[P_l(x)\cos(\omega x) + P_n(x)\sin(\omega x)]\) 型:

  • 若 \(\lambda \pm i\omega\) 不是特征方程的根，设特解为 \(y_p = e^{\lambda x}[Q_k(x)\cos(\omega x) + R_k(x)\sin(\omega x)]\)，其中 \(k = \max(l, n)\)。
  • 若 \(\lambda \pm i\omega\) 是特征方程的根，设特解为 \(y_p = xe^{\lambda x}[Q_k(x)\cos(\omega x) + R_k(x)\sin(\omega x)]\)。

五、 微分方程的应用

微分方程的应用题也是考研数学二中的一个常见题型，通常结合几何、物理等背景进行考察。常见的应用包括：

• 几何应用: 求解曲线方程、法线与切线问题等。
• 物理应用: 如冷却定律、运动学问题等。

解决应用题的关键在于根据题意建立微分方程，然后利用上述方法求解。这要求考生不仅要掌握解微分方程的技巧，还要具备一定的建模能力。

总而言之，考研数学二中微分方程部分的考点清晰、方法固定，考生在复习时应系统掌握各类方程的求解方法，并通过大量的练习来提高解题的熟练度和准确率，特别是在待定系数法的应用上要多加注意，力求在该部分获得理想的分数。