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泰勒公式

考研数学核心泰勒公式全解

在考研数学中，泰勒公式是至关重要的一个环节，它不仅是考察的重点，更是解决许多极限、函数逼近、级数求和等问题的利器。掌握常用函数的泰勒展开式，并能熟练运用，是取得高分的关键。本文将全面梳理考研数学中所有重要的泰勒公式，并对其应用进行扼要说明。

泰勒公式的两种核心形式

泰勒公式的核心思想是用一个多项式函数来逼近一个在某点可导的函数。在考研中，主要考察泰勒公式在 \(x_0=0\) 处的展开，即麦克劳林公式 (Maclaurin's Formula)。其主要有两种形式的余项，考生需要熟练掌握：

  1. 带佩亚诺 (Peano) 余项的泰勒公式：主要用于求极限，其形式简洁，易于计算。

设函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处 \(n\) 阶可导，则在 \(x=0\) 的一个邻域内，有：

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)\]

其中 \(o(x^n)\) 是佩亚诺余项，表示一个比 \(x^n\) 更高阶的无穷小量，即 \(\lim_{x \to 0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0\)。

  1. 带拉格朗日 (Lagrange) 余项的泰勒公式：主要用于中值定理的证明和不等式的放缩。

设函数 \(f(x)\) 在包含 \(0\) 的某个闭区间上 \(n+1\) 阶可导，则在该区间内至少存在一点 \(\xi\) 位于 \(0\) 和 \(x\) 之间，使得：

\[f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\]

其中 \(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\) 被称为拉格朗日余项。

考研必背的七大核心泰勒展开式

以下是考研数学中必须熟记的七个常用初等函数的麦克劳林公式（带佩亚诺余项），建议记忆至所给出的阶数，以应对绝大部分极限计算。

  1. 指数函数 \(e^x\)
\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)\]
  1. 正弦函数 \(\sin(x)\)
\[\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!} + o(x^{2n})\]
  1. 余弦函数 \(\cos(x)\)
\[\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1})\]
  1. 对数函数 \(\ln(1+x)\)
\[\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)\]
  1. 幂函数 \((1+x)^\alpha\)
\[(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)\]

这个公式在 \(\alpha\) 为特定值时有几个常用特例：

  • \(\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n + o(x^n)\)

  • \(\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n)\)

  • \(\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + o(x^2)\)

  • 反正切函数 \(\arctan(x)\)

\[\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1} + o(x^{2n})\]
  1. 正切函数 \(\tan(x)\)
\[\tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)\]

正切函数的展开式系数没有明显的规律，一般记忆到三阶或五阶即可。

应用要点

  • 求极限：当遇到 \(\frac{0}{0}\) 型极限，特别是含有加减法运算导致无法直接使用洛必达法则或等价无穷小替换时，泰勒公式是首选方法。核心思想是将分子和分母的函数展开到 第一个系数不为零的最低阶次。

  • 判断函数在某点的极值：利用泰勒展开式，可以通过展开到第二阶导数项来判断函数的极值。

  • 比较函数值大小及证明不等式：通常使用带拉格朗日余项的泰勒公式，通过分析余项的正负来证明不等关系。

好的，这里为您整理了考研数学中所有常用和重要的无穷小替换公式。

在求极限的过程中，当自变量 \(x \to 0\)（或 \(x \to x_0\) 时，对应的某个变量 \(\alpha(x) \to 0\)），我们可以用一个更简单的无穷小量来替换一个复杂的无穷小量，从而简化计算。这种方法称为等价无穷小替换。

等价无穷小替换的核心原理

若 \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0\) 且 \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\)，并且 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)，则称当 \(x \to 0\) 时，\(f(x)\) 与 \(g(x)\) 是等价无穷小，记作 \(f(x) \sim g(x)\)。

重要使用限制：

等价无穷小替换主要用于乘除法运算中。在加减法运算中，必须非常小心，只有在确保替换后不会将主项消掉（即加减后极限不为零）的情况下才可以使用，否则会产生严重错误。对于加减法，使用泰勒公式展开到更高阶是更稳妥的方法。

考研数学核心等价无穷小替换公式大全

以下所有公式均在自变量 \(x \to 0\) 的条件下成立。

1. 最基础、最核心的替换

这是所有替换的基础，由 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) 衍生而来。

  • \(\sin x \sim x\)

2. 三角函数相关

  • \(\tan x \sim x\)

  • \(\arcsin x \sim x\)

  • \(\arctan x \sim x\)

  • \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\) (这个极为常用，务必记牢)

  • \(\sec x - 1 \sim \frac{1}{2}x^2\)

  • \(x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3\) (用于高阶项相减)

  • \(\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3\) (用于高阶项相减)

  • \(x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3\) (用于高阶项相减)

  • \(\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3\) (用于高阶项相减)

3. 指数函数相关

  • \(e^x - 1 \sim x\)

  • \(a^x - 1 \sim x \ln a\) (其中 \(a>0, a \neq 1\))

4. 对数函数相关

  • \(\ln(1+x) \sim x\)

  • \(\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}\) (其中 \(a>0, a \neq 1\))

5. 幂函数/二项式相关

  • \((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\) (其中 \(\alpha \in \mathbb{R}\))

这个公式非常强大，可以衍生出许多其他形式：

  • \(\sqrt{1+x} - 1 = (1+x)^{1/2} - 1 \sim \frac{1}{2}x\)

  • \(\sqrt[n]{1+x} - 1 = (1+x)^{1/n} - 1 \sim \frac{1}{n}x\)

  • \(\frac{1}{1+x} - 1 = (1+x)^{-1} - 1 \sim -x\)

6. 总结与扩展

上述所有公式中的 \(x\) 都可以替换为另一个趋向于0的无穷小量 \(\alpha(x)\)。例如，若 \(\lim_{x \to a} \alpha(x) = 0\)，则有：

  • \(\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)\)

  • \(e^{\alpha(x)} - 1 \sim \alpha(x)\)

  • \(\ln(1+\alpha(x)) \sim \alpha(x)\)

  • ...等等

示例：

当 \(x \to 0\) 时，\(\sin(x^2) \sim x^2\)。

当 \(x \to 1\) 时，\(x-1 \to 0\)，所以 \(\ln x = \ln(1+(x-1)) \sim x-1\)。

表格总结

| 函数形式 | 等价无穷小 | 备注 |

| :--- | :--- | :--- |

| \(\sin x\) | \(x\) | 最基础 |

| \(\tan x\) | \(x\) | |

| \(\arcsin x\) | \(x\) | |

| \(\arctan x\) | \(x\) | |

| \(1 - \cos x\) | \(\frac{1}{2}x^2\) | 非常重要 |

| \(e^x - 1\) | \(x\) | 指数形式 |

| \(a^x - 1\) | \(x \ln a\) | 一般指数形式 |

| \(\ln(1+x)\) | \(x\) | 对数形式 |

| \(\log_a(1+x)\) | \(\frac{x}{\ln a}\) | 一般对数形式 |

| \((1+x)^\alpha - 1\) | \(\alpha x\) | 非常重要，幂函数形式 |

| \(x - \sin x\) | \(\frac{1}{6}x^3\) | 高阶，处理加减法 |

| \(\tan x - x\) | \(\frac{1}{3}x^3\) | 高阶，处理加减法 |