渐近线¶

好的，我们来系统地梳理一下考研数学中关于渐近线的知识点，并结合几道经典的例题来加深理解。

考研数学：渐近线知识点详解¶

在考研数学中，渐近线是函数图像特征的一个重要研究方向，主要出现在高等数学的函数、极限与连续部分。准确求解渐-近线是理解函数形态、绘制函数图像的基础。

一、渐近线的定义¶

如果当点 M 沿着曲线 C 无限远离原点时，它与某条定直线 L 的距离趋近于 0，那么直线 L 就称为曲线 C 的渐近线。

二、渐近线的分类与求解方法¶

渐近线主要分为三类：水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

1. 垂直渐近线 (Vertical Asymptote)

定义与观察点： 垂直渐近线是与 x 轴垂直的直线，形式为 $x = x_0$。我们主要考察函数的无定义点或者分段函数的端点。
求解方法： 检查函数 $f(x)$ 在某点 $x_0$ 的左极限或右极限。如果至少满足以下一个条件，那么直线 $x = x_0$就是函数 $y = f(x)$ 的垂直渐近线： $\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty$\) $\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$\)
常见考点：
- 分式函数的分母为零的点。
- 对数函数的真数为零的点，例如 $y = \ln(x)$ 在 $x=0$ 处。
- 某些三角函数的无定义点，例如 $y = \tan(x)$ 在 $x = k\pi + \frac{\pi}{2}$ 处。

2. 水平渐近线 (Horizontal Asymptote)

定义与观察点： 水平渐近线是与 y 轴垂直的直线，形式为 $y = c$。我们主要考察当 $x$ 趋向于正无穷 ($x \to +\infty$) 和负无穷 ($x \to -\infty$) 时函数的极限。
求解方法： 分别计算 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 时的极限：
- 如果 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = c$ (其中 c 为常数)，则 $y = c$ 是一条水平渐近线。
- 如果 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = d$ (其中 d 为常数)，则 $y = d$ 也是一条水平渐近线。
注意：
- 一个函数最多有两条水平渐近线 (一条在 $x \to +\infty$ 方向，一条在 $x \to -\infty$ 方向)。
- 如果 $c=d$，则两条水平渐近线重合。
- 水平渐近线与斜渐近线在同一方向上是“互斥”的。也就是说，如果在 $x \to +\infty$ 方向上存在水平渐近线，就不可能再有斜渐近线。

3. 斜渐近线 (Oblique/Slant Asymptote)

定义与观察点： 斜渐近线是不与坐标轴平行的直线，形式为 $y = ax + b$ (其中 $a \neq 0$)。同样，我们需要分别考察 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 两个方向。
求解方法： 如果在 $x \to +\infty$ 方向上存在斜渐近线 $y = ax + b$，则系数 a 和 b 可以通过以下极限求得： $\(a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$\) $\(b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax]$\) 必须两个极限都存在且 a 不为零，才存在斜渐近线。

同样地，可以考察 $x \to -\infty$ 的情况： $\(a = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$\) $\(b = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - ax]$\)
重要提示：
- 对于有理函数（两个多项式的商），只有当分子的最高次幂比分母的最高次幂恰好高一次时，才可能存在斜渐近线。此时的商就是斜渐近线的方程。
- 在求解斜渐近线时，要特别注意 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 的情况，尤其是在处理带有根式或绝对值的函数时，结果可能会不同。

精选例题¶

以下是几道考研中常见的渐近线题目类型。

例题1：求函数 $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ 的所有渐近线。

解题步骤：

定义域： 函数的定义域为 $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$。
垂直渐近线： 考察分母为零的点 $x = 2$ 和 $x = -2$。
- 当 $x \to 2^+$ 时，$f(x) = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)} \to \frac{8}{0^+\cdot 4} = +\infty$。因此，$x=2$ 是一条垂直渐近线。
- 当 $x \to -2^+$ 时，$f(x) = \frac{x^3}{(x-2)(x+2)} \to \frac{-8}{(-4)\cdot 0^+} = +\infty$。因此，$x=-2$ 是一条垂直渐近线。
水平渐近线： $\(\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{1 - \frac{4}{x^2}} = \infty$\) 极限不为常数，所以没有水平渐近线。
斜渐近线： 由于分子次数（3）比分母次数（2）高一次，可能存在斜渐近线。
- 求系数 a: $\(a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{x^3 - 4x} = 1$\)
- 求系数 b: $\(b = \lim_{x \to \infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3}{x^2 - 4} - 1 \cdot x \right)$\) $\(= \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 - x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x^2 - 4} = 0$\) 所以，斜渐近线方程为 $y = 1 \cdot x + 0$，即 $y = x$。（注：对于 $x \to -\infty$ 的情况，计算结果相同。）

答案： 该函数有三条渐近线，分别是垂直渐近线 $x=2$，$x=-2$ 和斜渐近线 $y=x$。

例题2：求函数 $f(x) = x \arctan x$ 的渐近线。

解题步骤：

定义域： $(-\infty, +\infty)$，函数处处连续，无垂直渐近线。
水平/斜渐近线： 由于定义域是全集，我们直接考察 $x \to \pm\infty$ 的情况。
- 当 $x \to +\infty$ 时： $\(a = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \arctan x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$\) $\(b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to +\infty} \left( x \arctan x - \frac{\pi}{2} x \right) = \lim_{x \to +\infty} x \left( \arctan x - \frac{\pi}{2} \right)$\) 这是 $\infty \cdot 0$ 型的极限。令 $t = \arctan x - \frac{\pi}{2}$，则 $\arctan x = t + \frac{\pi}{2}$，当 $x \to +\infty$ 时，$t \to 0^-$。 $x = \tan(t + \frac{\pi}{2}) = -\cot t = -\frac{\cos t}{\sin t}$。 $\(b = \lim_{t \to 0^-} \left( -\frac{\cos t}{\sin t} \cdot t \right) = -\lim_{t \to 0^-} \cos t \cdot \frac{t}{\sin t} = -1 \cdot 1 = -1$\) 所以，当 $x \to +\infty$ 时，有一条斜渐近线 $y = \frac{\pi}{2}x - 1$。
- 当 $x \to -\infty$ 时： $\(a = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$\) $\(b = \lim_{x \to -\infty} \left[ x \arctan x - \left(-\frac{\pi}{2}x\right) \right] = \lim_{x \to -\infty} x \left( \arctan x + \frac{\pi}{2} \right)$\) 令 $u = \arctan x + \frac{\pi}{2}$，则当 $x \to -\infty$ 时，$u \to 0^+$。$x = \tan(u - \frac{\pi}{2}) = -\cot u$。 $\(b = \lim_{u \to 0^+} (-\cot u \cdot u) = -\lim_{u \to 0^+} \frac{u}{\tan u} = -1$\) 所以，当 $x \to -\infty$ 时，有另一条斜渐近线 $y = -\frac{\pi}{2}x - 1$。

答案： 函数有两条斜渐近线，$y = \frac{\pi}{2}x - 1$ 和 $y = -\frac{\pi}{2}x - 1$。

例题3：求函数 $f(x) = \sqrt{4x^2 - 1}$ 的渐近线。

解题步骤：

定义域： $4x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge \frac{1}{4}$，所以定义域为 $(-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}, +\infty)$。函数在定义域内连续，无垂直渐近线。
水平/斜渐近线：
- 当 $x \to +\infty$ 时： $$ a = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2-1}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2(4 - \frac{1}{x^2})}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{|x|\sqrt{4 - \frac{1}{x^2}}}{x} $$ 因为 $x \to +\infty$，$|x|=x$，所以 $a = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{4 - \frac{1}{x^2}}}{x} = \sqrt{4} = 2$。 $\(b = \lim_{x \to +\infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2-1} - 2x)$\) $\(= \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{4x^2-1} - 2x)(\sqrt{4x^2-1} + 2x)}{\sqrt{4x^2-1} + 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 - 1 - 4x^2}{\sqrt{4x^2-1} + 2x}$\) $\(= \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{4x^2-1} + 2x} = 0$\) 所以，当 $x \to +\infty$ 时，斜渐近线为 $y = 2x$。
- 当 $x \to -\infty$ 时： $\(a = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2-1}}{x}$\) 因为 $x \to -\infty$，$|x|=-x$，所以 $a = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{4 - \frac{1}{x^2}}}{x} = -\sqrt{4} = -2$。 $\(b = \lim_{x \to -\infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2-1} - (-2x)) = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2-1} + 2x)$\) $\(= \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{4x^2-1} + 2x)(\sqrt{4x^2-1} - 2x)}{\sqrt{4x^2-1} - 2x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-1}{\sqrt{4x^2-1} - 2x} = 0$\) 所以，当 $x \to -\infty$ 时，斜渐近线为 $y = -2x$。

答案： 函数有两条斜渐近线，$y=2x$ 和 $y=-2x$。

总结¶

求解函数渐近线的核心思想就是“极限”。 * 垂直渐近线看函数值趋于无穷的点。 * 水平和斜渐近线看自变量趋于无穷时函数的趋势。

在解题时，务必做到条理清晰：先判断定义域，然后按垂直、水平、斜渐近线的顺序依次考察，特别注意 $x \to +\infty$ 和 $x \to -\infty$ 两个方向可能存在的差异。